SITUAÇÃO- PROBLEMA:
Em um estacionamento há carros e motos num total de 12 veículos e 40 rodas. Qual é a quantidade correta de carros e motos?
carros= x
motos= y
x+y=12
4x+2y=40
Vamos isolar o y na primeira equação.
y=12-x
E substituimos na segunda equação para encontrar o valor de x.
4x+2y=40
4x+2(12-x)=40
4x+24-2x=40
2x=40-24
2x=16
x=16/2
x=8
Então substituimos o valor de x para encontrar o y.
y=12-x
y=12-8
y=4
Há oito carros e quatro motos no estacionamento.
DEFINIÇÃO:
Os sistemas de equações consistem em ferramentas importantes na matemática, eles sao utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução.
Os sistemas de equações podem ser: possível e determinado, quando se tem uma única solução, ou seja, quando as equações se cruzam em um ponto,impossível quando as retas formadas pelo gráfico são paralelas, ou seja, seus coeficientes angulares são iguais e os lineares diferentes e possível indeterminado quando as retas se cruzam em vários pontos.
Os sistemas de equações podem ser resolvidos de duas maneiras, pelo método da adição ou pelo método da substituição. O método da adição consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
Já o método da substituição consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLOS:
Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável r para a representação da quantidade de refrigerantes.
Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:
2c+r=7
Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$ 11,50, temos:
3c+2r=11,5
Temos então o seguinte sistema:
2c+r=7
3c+2r=11,5
Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro membro, a incógnita r da primeira equação:
2c+r=7 r=7-2c
Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça simplificar a resolução do sistema.
Agora vamos substituir r na segunda equação:
3c+2r=11,5
3c+2(7-2c)=11,5
3c+14-4c=11,5
-c=11,5-14
-c=-2,5
c=2,5
A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:
r=7-2c
r=7-2(2,5)
r=7-5
r=2
Então:
O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.
b) A sorveteria "Que Calor" vendeu 70 picolés e faturou R$ 100,00. Sabendo que o picolé simples custa R$ 1,00 e o picolé com cobertura custa R$ 2,00, quantos picolés com cobertura foram vendidos?
x= picolé simples: R$ 1,00
y= picolé com cobertura: R$ 2,00
Vamos montar um sistema de equações:
x+y= 70
x+2y=100
Vamos isolar o y na primeira equação.
y=70-x
Vamos substituir o y na segunda equação.
x+2(70-x)=100
x+14o-2x=100
-x=100-140
-x=-40 (-1)
x=40
Agora vamos achar o valor do y, substituindo-o na primeira equação.
x+y=70
40+y=70
y=70-40
y=30
Foram vendidos 30 picolés com cobertura.
ATIVIDADES
1) Observe o sistema:
a) 2x-y=-3
2x-y=-9
Vamos isolar o y.
y=2x+3
y=2x+9
Em seguida construa no programa broffice calc uma tabela para cada equação e o gráfico e determine a análise do sistema.
Para a construção da tabela:
*Escreveu-se equação A na célula A4 e equação B na célula D4;
*Escreveu-se A= na célula A5 e B= na célula A6;
*Escreveu-se também A= na célula D5 e B= na célula D6 para a equação b;
*Na célula B5 e B6 foi colocado o coeficiente angular e linear da primeira equação;
*Na célula E5 e E6 foi colocado o coeficiente angular e linear da segunda equação;
*Na célula A8 foi colocado X e na célula B8 foi colocado Y para a primeira equação assim como foi colocado X na célula D8 e Y na célula E8;
*Na célula A9 foi dado o primeiro valor de a = -10 até a célula A30 = 10;
*Para calcular o valor de Y foi utilizada a seguinte fórmula: Y=AX+B, neste caso, =B5*A9+B6;
*Para os valores não mudarem foi colocado o sifão para travar a linha e a coluna e também para dar o resultado de Y conforme os valores de x que vão de 10 até -10, então a fórmula passa a ficar assim: = $B$5*A9+$B$6;
*Em seguida o cursor foi arrastado da célula B9 até a célula B29 nas duas equações para obter o valor do Y.
*Para a construção do gráfico, foi selecionado os valores de X e Y e indo na opção inserir gráfico.
Pode-se perceber que como as retas estão paralelas uma a outra, o sistema é considerado impossível, visto que os coeficientes angulares das equações sao iguais e os lineares diferentes.
b) Henrique usou apenas notas de R$ 20,00 e R$ 5,00 para pagar uma parcela do carro de R$ 140,00.Quantos notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x=20
y=10
{x+y=10
{20x+5y=140
Vamos isolar o y na primeira equação.
y=10-x x+y=10
20x+5(10-x)=140 6+y=10
20x+50-5x=140 y=10-6
15x=140-50 y=4
15x=90
x=90/15
x=6
Henrique usou 6 notas de 20 e 4 notas de 5.
Para melhor compreensão desta atividade também vamos utilizar o broffice calc, e vamos construir uma tabela com os mesmos valores da anterior inserindo o coeficiente a e b das equações e depois vamos construir com esses dados uma representação gráfica.
Primeiramente colocamos os valores dos coeficientes a e b da primeira equação na tabela, depois vamos isolar o y na segunda equação e colocar os valores na tabela.
20x+5y=140
5y=-20x+140 (:5)
y= -4x+28
Após a construção do gráfico responda:
Como estão as retas? E qual é a mais inclinada?
As retas estão inclinadas. A reta mais inclinada é da segunda equação.
Onde se cruzam estas retas?
As retas estão se cruzando em um único ponto, assim pode se perceber que este é um sistema possível determinado.
c) Têm-se vários quadrados iguais e também vários triângulos iguais. Se destes tomarmos um triângulos e um quadrado, a soma das suas áreas será igual a 3 cm2, já se tomarmos dois triângulos e dois quadrados, a soma das suas áreas será igual a 6 cm2. Qual é a área de cada um destes triângulos e quadrados?
Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então a partir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis:
T+Q=3
2T+2Q=6
Isolando o Y na segunda equação temos:
T=3-Q
Agora vamos substituir este valor na primeira equação:
2T+2Q=6
2(3-Q)+2Q=6
6-2Q+2Q=6
6+0=6
6-6=0
0=0
Vamos agora representar com a tabela e o gráfico da mesma forma que exercícios anteriores.
Primeiro vamos isolar uma incógnita em cada uma das equações:
T+Q=3
Q=3-T
2T+2Q=6 (:2)
T+Q=3
Q=3-T
Percebe-se que o gráfico indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois embora haja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução.
